辗转相除法的原理是什么

辗转相除法一般指欧几里得算法。欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。那么辗转相除法的原理是什么？

1、原理：设两数为a、b(ab)，用gcd(a，b)表示a，b的最大公约数，r=a(mod b)为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k。。。。。。。r。辗转相除法即是要证明gcd(a，b)=gcd(b，r)。

2、第一步：令c=gcd(a，b)，则设a=mc，b=nc。

3、第二步：根据前提可知r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c。

4、第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数。

5、第四步：可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd(d1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cdc，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。

6、从而可知gcd(b，r)=c，继而gcd(a，b)=gcd(b，r)。

7、证毕。以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。

8、解释：辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法，其可追溯至公元前300年前。

9、来源：设两数为a、b(ab)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得a÷b=q。。。。。。r1(0≤r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1=q。。。。。。r2(0≤r2）。若r2=0，则(a，b)=r1，若r2≠0，则继续用r1除以r2，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的除数即为(a， b)的最大公约数。

10、例如：a=25，b=15，a/b=1。。。。。.10，b/10=1。。。。。.5，10/5=2。。。。。。.0，最后一个余数为0d的除数就是5， 5就是所求最大公约数。

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